Question

12．如图①所示在等边△ABC中，P为AB的中点，Q为AC的中点，R为BC的中点，M是直线BC上任意一点，△PMS为等边三角形，（点M的位置改变时，△PMS也随之整体移动）
（1）若AB的长为6cm，连接PQ、PR、QR得到△PQR，请求出△PQR的面积；
（2）当M在线段RC上时，请证明：RM=QS；
（3）如图②，点M在点B左侧时，其他条件不变，第（2）题的结论中RM与QS的数量关系是否依然成立？（请直接写出结论，不必证明）请你利用图②来判断点R是否在直线QS上？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的边求出△ABC的面积，再由三条中位线围成的△PQR面积是△ABC的四分之一即可；
（2）判断出∠SPQ=∠MPR，再由两个等边三角形的边，判断出△PRM≌△PQS，即可求解；
（3）由（2）的全等的方法判断出△PBM≌△PRS，从而得到点R，Q，S，在同一直线上，继而（2）结论成立．

解答 解：（1）如图①，连接PQ，PR，RQ，

∵等边三角形ABC，AB=6，
∴高h=3$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×h=$\frac{1}{2}$×6×$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$，
∵P，Q，R是等边三角形的三边中点，
∴S_△PQR=$\frac{1}{4}$S_△ABC=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$；
（2）如图①，连接PR，PQ，SQ，

∵P，Q，R是等边三角形的三边中点，
∴AB=BC=AC，∠A=∠C=∠ABC，
∴PQ=$\frac{1}{2}$BC，PR=$\frac{1}{2}$AC，RQ=$\frac{1}{2}$AB，
∴PQ=PR=RQ，
∵等边三角形PMS，
∴PM=PS=MS，∠QPR=∠SPM=60°，
∴∠QPR-∠QPM=∠SMP-∠QPM，
∴∠QSP=∠RPM，
∵PQ=PR，PS=PM，
∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；
（3）成立，如图②，连接PR，PQ，RS，QR，

同（2）方法，得：△PBM≌△PRS，
∴∠PRS=∠PBM=120°，
∵∠PRQ=60°，
∴∠SRQ=180°，
∴点S，R，Q在同一条直线上，
∴R在SQ的直线上．
由（2）得∴△PRM≌△PQS，
∴QS=RM；

点评 此题是三角形综合题，主要考查了三角形的全等的性质和判定，等边三角形的性质，判定三点共线的方法，解本题的关键是得到∠QSP=∠RPM．