Question

1．如图，设M、N分别为△ABC的边AB、AC上的点，P、Q为MN上的两点，且MP=QN，求证：MB+CN≤BP+CQ．

Answer 1

分析 过点P作PC′∥NC，PC′=NC，连接MC′，证明△MPC′≌△QNC，得到PC′=NC，MC′=QC，利用三角形两边之和大于第三边，得到BO+OM＞BM①，PO+OC′＞PC′②，①+②得：BO+OM+PO+OC′＞BM+PC′，即BP+QC＞BM+NC，所以MB+CN≤BP+CQ成立．

解答 解：过点P作PC′∥NC，PC′=NC，连接MC′，

∵PC′∥NC，
∴∠MPC′=∠QNC，
在△MPC′和△QNC中，
$\left\{\begin{array}{l}{MP=QN}\\{∠MPC′=∠QNC}\\{PC′=NC}\end{array}\right.$，
∴△MPC′≌△QNC，
∴PC′=NC，MC′=QC，
在△BOM中，BO+OM＞BM，①
在△PC′O中，PO+OC′＞PC′，②
①+②得：BO+OM+PO+OC′＞BM+PC′，
即BO+PO+OM+OC′＞BM+NC，
BP+MC′＞BM+NC
BP+QC＞BM+NC，
即MB+CN≤BP+CQ成立．

点评 本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的两边之和大于第三边，解决本题的关键是作出辅助线，证明△MPC′≌△QNC．