Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，BC=2AD，对角线AC、BD相交于点E．
（1）求证：∠ADC=90°；
（2）若AC=6，AD=2，求∠ABC的正弦值和线段BE长．

Answer 1

（1）证明：过点A作AF⊥BC于F，
∵AB=AC，
∴FC=

1

2

BC=AD，∠AFC=90°，
∵AD∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠AFC=90°，
∴四边形ADCF是矩形，
∴∠ADC=90°；

（2）∵∠ADC=90°，AC=6，AD=2，
∴CD=4

2

，
∴sin∠ABC=

4 2

6

=

2 2

3

，
∵AD∥BC，
∴△AED∽△CEB，
∴

DE

BE

=

AD

BC

=

1

2

，
∵BD=

BC2+CD2

=4

3

，
∴BE=

8

3

3

．