Question

2．已知AB∥CD，AM平分∠BAP．
（1）如图1，CM平分∠PCD，若∠P=110°，直接写出∠M=55度；
（2）如图2，（P、M在直线AC异侧）CM平分∠PCD，写出∠P与∠M数量关系．并证明；
（3）如图3，∠PCM=2∠MCD，若2∠M-∠P=10°，求∠PCD．

Answer 1

分析 （1）延长AP交CD于点Q，则可得到∠BAP=∠AQC，则∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），连接MP并延长到点R，则可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，可得到∠P和∠M的关系，从而求解；
（2）如图2，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，根据平行线的性质得到∠APQ=180°-∠BAP，∠CPQ=180°-∠DCP，∠AMN=∠BAM，∠CMN=∠DCM，根据角平分线的定义得到∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM，等量代换即可得到结论；
（3）如图3，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，则AB∥PQ∥MN∥CD，设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=3x，设∠PAM=y，则∠MAB=y，则∠PAB=2y，根据平行线的性质得到∠QPA=∠PAB=2y，∠NMA=∠MAB=y，列方程即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长AP交CD于点Q，则可得到∠BAP=∠AQC，
则∠APC=∠BAP+∠DCP=2（∠MAP+∠MCP），
连接MP并延长到点R，则可得∠APR=∠MAP+∠AMP，∠CPR=∠MCP+∠CMP，
所以∠APC=∠M+∠MAP+∠MCP，
所以∠APC=∠M+$\frac{1}{2}$∠APC，
所以∠M=$\frac{1}{2}$∠APC=55°．
故答案为：55；
（2）如图2，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，
则AB∥PQ∥MN∥CD，
∴∠APQ=180°-∠BAP，∠CPQ=180°-∠DCP，∠AMN=∠BAM，∠CMN=∠DCM，
∵AM平分∠BAP，CM平分∠PCD，
∴∠BAP=2∠BAM，∠DCP=2∠DCM，
∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=180°-∠BAP+180°-∠DCP=360°-2（∠BAM+∠DCM）=360°-2（∠BAM+∠DCM）=360°-2∠AMC；
（3）如图3，过P作PQ∥AB于Q，MN∥AB于N，
则AB∥PQ∥MN∥CD，
设∠MCD=x，则∠PCM=2x，∠PCD=3x，设∠PAM=y，则∠MAB=y，则∠PAB=2y，
∵AB∥PQ，
∴∠QPA=∠PAB=2y，∠NMA=∠MAB=y，
∴∠QPA=∠CPQ+∠CPA=∠PCD+∠CPA=3x+∠CPA  ①，∠NMA=∠NMC+∠AMC=∠MCD+∠AMC=x+∠AMC  ②，
∵2∠AMC-∠APC=10°，2∠AMC=2（∠NMA-∠NMC）=2（y-x），∠APC=∠APQ-∠CPQ=2y-3x，
∴2（y-x）-（2y-3x）=10°，
∴x=10°，
∴∠PCD=3x=30°．

点评 本题主要考查外角的性质及角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是利用三角形的外角的性质找到∠P和∠M之间的关系．