Question

19．已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠ABC=30°，∠ACB=50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）写出∠DAE与∠ACB-∠ABC的数量关系：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC），并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和得到∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，再根据角平分线与高线的定义得到∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，∠ADC=90°，则∠CAD=90°-∠C=40°，然后利用∠DAE=∠CAE-∠CAD计算即可．
（2）根据题意可以用∠B和∠C表示出∠CAD和∠CAE，从而可以得到∠DAE与∠C-∠B的关系．

解答 解：∵∠ABC=30°，∠ACB=50°，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C=100°，
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠CAB=50°，
∵AD分别是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=90°-∠C=40°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°．

（2）∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC），
理由：∵在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，
∴∠CAB=180°-∠B-∠C，∠CAD=90°-∠C，∠CAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C），
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=$\frac{1}{2}$（∠C-∠B）．
故答案为：∠DAE=$\frac{1}{2}$（∠ACB-∠ABC）．

点评 本题考查三角形内角和定理、角的平分线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．