我们知道.三角形的三条中线一定会交于一点.这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质.如有关线段比．面积比就有一些“漂亮结论.利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题:(1)如图1.△ABC的中线AD.CE的交点O为三角形的重心.利用三角形的中位线可以证明:$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$.请你完成该证明,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如有关线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．
请你利用重心的概念完成如下问题：

（1）如图1，△ABC的中线AD、CE的交点O为三角形的重心，利用三角形的中位线可以证明：$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$，请你完成该证明；
（2）运用第（1）的结论解决以下问题：
①小丽说：“过三角形的重心任画一条直线都能将三角形的面积平分”．小明想了想说：“这个说法是错误的．”他过点O画出了BC的平行线，交AB、AC于点E、F，如图2，你能求出$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{四边形EBCF}}}}$的值吗？谁的说法正确？
②△ABC中，∠C=90°，AB=6cm，求△ABC的重心与外心的距离．

分析（1）连接DE，根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC，根据相似三角形的判定和性质证明即可；
（2）①根据三角形的重心的概念和相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可；
②根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半、三角形的重心的性质解答即可．

解答解：（1）连接DE，
由题意，D、E为BC、AB中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE=$\frac{1}{2}$AC．
∴△ODE∽△OAC，且相似比为1：2，
∴AO=2OD，
∴$\frac{AO}{AD}=\frac{2}{3}$；
（2）①∵EF∥BC，
∴△AEO∽△ABD，相似比为$\frac{2}{3}$．
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{2}{3}$；
同理，△AEF∽△ABC，相似比为$\frac{2}{3}$；
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{△ABC}}}}=\frac{4}{9}$，
∴$\frac{{{S_{△AEF}}}}{{{S_{四边形EBCF}}}}=\frac{4}{5}$；
∴小明说法正确；
②Rt△ABC外心为AB的中点，记为点D，
∵∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm，
重心O在中线CD上，由（1）得$\frac{CO}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴OD=3×$\frac{1}{3}$=1cm．