Question

5．如图，一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求m的值．

Answer 1

分析 （1）先由一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b=0①，由于一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．由△ACD∽△BCE，得出$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=2，那么AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．由直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，得出A（3-3n，2n），B（3+$\frac{3}{2}$n，-n），再根据反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过A、B两点，列出方程（3-3n）•2n=（3+$\frac{3}{2}$n）•（-n），解方程求出n的值，那么m=（3-3n）•2n，代入计算即可．

解答 解：∵一次函数y=kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），
∴3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，
∵k＜0，
∴b＞0，
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），
∴$\frac{1}{2}$×3×b=3，
解得：b=2．
把b=2代入①，解得：k=-$\frac{2}{3}$，则函数的解析式是y=-$\frac{2}{3}$x+2．
故这个函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2；

（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．
∵AD∥BE，
∴△ACD∽△BCE，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=2，
∴AD=2BE．
设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．
∵直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+2，
∴A（3-3n，2n），B（3+$\frac{3}{2}$n，-n），
∵反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象经过A、B两点，
∴（3-3n）•2n=（3+$\frac{3}{2}$n）•（-n），
解得n₁=2，n₂=0（不合题意舍去），
∴m=（3-3n）•2n=-3×4=-12．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．