题目内容
如图1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过B、C两点作过点A的直线l的垂线，垂足为D、E；
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为 ．
（3）如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又S△ABM=S1，S△ACM=S2，求S2-S1的值．（用含有a，b，c的代数式表示）
（4）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）
（1）如图1，当D、E两点在直线BC的同侧时，猜想，BD、CE、DE三条线段有怎样的数量关系？并说明理由．
（2）如图2，当D、E两点在直线BC的两侧时，BD、CE、DE三条线段的数量关系为
（3）如图2，若直线AD被截成的线段AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，又S△ABM=S1，S△ACM=S2，求S2-S1的值．（用含有a，b，c的代数式表示）
（4）如图3，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．点P从B点出发沿B→A→C路径向终点C运动；点Q从C点出发沿C→A→B路径向终点B运动．点P和Q分别以每秒2和3个单位的速度同时开始运动，只要有一点到达相应的终点时两点同时停止运动；在运动过程中，分别过P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．问：点P运动多少秒时，△PFA与△QAG全等？（直接写出结果即可）
考点：全等三角形的判定与性质
专题：
分析：（1）根据∠ADB=∠AEC=90°，求得∠EAC=∠ABD，用AAS证明△ABD≌△ACE，得AD=CE，BD=AE，所以DE=BD+CE
（2）由于BD⊥AD，CE⊥AD，则∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD+∠BAD=90°，而∠BAD+∠EAC=90°，则∠ABD=∠EAC，加上AB=AC，根据全等三角形的判定得到可得△ABD≌△ACE，利用全等的性质得BD=AE，AD=CE，由AD=AE+DE，即可得到CE=DE+BD．
（3）根据三角形的面积公式即可求得；
（4）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．
（2）由于BD⊥AD，CE⊥AD，则∠ADB=∠AEC=90°，得到∠ABD+∠BAD=90°，而∠BAD+∠EAC=90°，则∠ABD=∠EAC，加上AB=AC，根据全等三角形的判定得到可得△ABD≌△ACE，利用全等的性质得BD=AE，AD=CE，由AD=AE+DE，即可得到CE=DE+BD．
（3）根据三角形的面积公式即可求得；
（4）易证∠PFA=∠QGA，∠PAF=∠AQG，只需PA=QA，就可得到△PFA与△QAG全等，然后只需根据点P和点Q不同位置进行分类讨论即可解决问题．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=∠AEC=90°
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD．
（2）CE=DE+BD．理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
∵
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=BD+DE．
∴CE=BD+DE；
（3）∵AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=a，CE=AD=a+b+c
又∵S△ABM=S1，S△ACM=S2，
∴S1=
AM•BD=
a（a+b），S2=
AM•CE=
（a+b）（a+b+c），
∴S2-S1=
（a+b）（a+b+c）-
a（a+b）=
（a+b）（b+c）=
ab+
ac+
bc+
b2；
（4）解：①当0≤t＜
时，点P在AB上，点Q在AC上，
此时有BF=2t，CG=3t，AB=22，AC=28．
当PA=QA即22-2t=28-3t，也即t=6时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°．
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG．
在△PFA和△QAG中，
．
∴PFA与≌QAG（AAS）．
②当
≤t＜11时，点P在AB上，点Q也在AB上，
若PA=QA，则点P与点Q重合，故不存在．
③当7＜t＜18时，点Q停在点B处，点P在AC上，
当PA=QA即2t-22=22，解得t=22，（舍去）
综上所述：当t等于6时，△PFA与△QAG全等．
∴∠BAD+∠EAC=90°，∠BAD+∠B=90°
∴∠EAC=∠B
∵AB=AC
∴△ABD≌△ACE（AAS）
∴AD=CE，BD=AE
∴DE=AD+AE=CE+BD．
（2）CE=DE+BD．理由如下：
∵BD⊥AE，CE⊥AE，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°
∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠EAC=90°，
∴∠ABD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中
∵
|
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵AD=AE+DE，
∴AD=BD+DE．
∴CE=BD+DE；
（3）∵AE、EM、MD的长度分别是a，b，c，BD=AE，AD=CE，
∴BD=AE=a，CE=AD=a+b+c
又∵S△ABM=S1，S△ACM=S2，
∴S1=
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（4）解：①当0≤t＜
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此时有BF=2t，CG=3t，AB=22，AC=28．
当PA=QA即22-2t=28-3t，也即t=6时，
∵PF⊥l，QG⊥l，∠BAC=90°，
∴∠PFA=∠QGA=∠BAC=90°．
∴∠PAF=90°-∠GAQ=∠AQG．
在△PFA和△QAG中，
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∴PFA与≌QAG（AAS）．
②当
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若PA=QA，则点P与点Q重合，故不存在．
③当7＜t＜18时，点Q停在点B处，点P在AC上，
当PA=QA即2t-22=22，解得t=22，（舍去）
综上所述：当t等于6时，△PFA与△QAG全等．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式的应用以及分类讨论的思想，可能会因考虑不全面而出错，是一道易错题．
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