Question

如图，四边形ABCD是正方形，点E、F分别在BC和CD上，且BE=DF=

1

n

AB．小松同学在作题时发现，当n=2时，sin∠EAF=

3

5

，当n=3时，sin∠EAF=

4

5

，当n=4时，sin∠EAF=

15

17

，当n=5时，sin∠EAF=

12

13

．
（1）当BE=DF=

1

n

AB时，sin∠EAF=

 

．
（2）证明你上面的结论．

Answer 1

分析：（1）将将

4

5

化为

8

10

，根据分子及分母的特点可得出当BE=DF=

1

n

AB时，sin∠EAF的值．
（2）设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，先根据S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF求出一个值，然后在Rt△AFM中在表示出一个值，两者相等即可得出结论．

解答：解：（1）将各三角函数值排列出来，将

4

5

化为

8

10

，
从而观察可得出结论，当BE=DF=

1

n

AB时，sin∠EAF=

n2-1

n2+1

．

（2）证明：设BE=1，则DF=1，CE=CF=n-1，

连接EF，作FM⊥AE于点M，
则S_△AEF=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，
=n²-

1

2

×1×n-

1

2

×1×n-

1

2

×（n-1）²
=

1

2

（n²-1）．
在Rt△AFM中，FM=AF•sin∠EAF，AE=AF=

12+n2

∴S=（1+n²）sin∠EAF
∴

1

2

（1+n²）sin∠EAF=

1

2

（n²-1）
∴sin∠EAF=

n2-1

n2+1

．

点评：此题考查了正方形的性质、勾股定理及锐角三角函数的定义，属于规律型，难度较大，解答本题的关键是仔细观察题目所给三角函数值的特点，从而得出结论，这样题目就变得简单化．