Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y= x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．

（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；
（3）当t在何范围时，点（4， ）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意，得 ，

解得： ，

∴C（3， ）

（2）

解：∵直线y=﹣ x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，

∴y=0时，0=﹣ x+6，解得；x=8，

∴A点坐标为；（8，0），

根据题意，得AE=t，OE=8﹣t．

∴点Q的纵坐标为 （8﹣t），点P的纵坐标为﹣ （8﹣t）+6= t，

∴PQ= （8﹣t）﹣ t=10﹣2t．

当MN在AD上时，10﹣2t=t，

∴t= ．

当0＜t≤ 时，S=t（10﹣2t），即S=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣ ）2+ ，S有最大值为 ．

当 ＜t＜5时，S=（10﹣2t）2，即S=4t2﹣40t+100=4（t﹣5）2，

∵t＜5时，S随t的增大而减小，

∴t= 时，S最大值= ，

∵ ＞ ，

∴S的最大值为

（3）

解：当t=5时，PQ=0，P，Q，C三点重合；

当t＜5时，知OE=4时是临界条件，即8﹣t=4

即t=4

∴点Q的纵坐标为5＞ ，

点（4， ）在正方形边界PQ上，E继续往左移动，则点（4， ）进入正方形内部，但点Q的纵坐标再减少，当Q点的纵坐标为 时，OE= ，

∴8﹣t= ，解得：t= ，

此时OE+PN= +PQ= +（10﹣2t）= ＞4满足条件，

∴4＜t＜ ，

当t＞5时，由图和条件知，则有E（t﹣8，0），PQ=2t﹣10要满足点（4， ）在正方形的内部，

则临界条件N点横坐标为44=PQ+OE=|2t﹣10|+|t﹣8|=3t﹣18

即t=6，此时Q点的纵坐标为：﹣ ×2+6= ＞ ．满足条件，

∴t＞6．

综上所述：4≤t≤ 或t≥6时，点（4， ）被正方形PQMN覆盖．

【解析】（1）简单求两直线的交点，得点C的坐标；（2）求得S与t之间的函数关系式；配方，即可求得二次函数的最大值，即可得出S的最大值；（3）求出定点在正方形PQMN内部时，t的范围，即可得出点（4， ）被正方形PQMN覆盖时t的取值范围．要用到分类讨论．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的最值的相关知识点，需要掌握如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a才能正确解答此题．