Question

7．如图，已知点A，点B，点C在圆O上，且BC为圆O的直径，∠CAB的平分线交圆O于点D，若AB=6，AC=8．
（1）求圆O的半径；
（2）求BD、CD的长．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理可得∠BAC=90°，进而根据勾股定理求出BC的长度，即圆的直径，继而半径可求出；
（2）根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可．

解答 解：（1）∵BC是直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角），
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，
∴BC=10，
∴圆O的半径OC=5；
（2）
∵BC是直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°（直径所对的圆周角是直角），
∵∠CAB的平分线交⊙O于点D，
∴∠CAB=∠BAD，
∴$\widehat{CD}=\widehat{BD}$，
∴CD=BD，
∴在Rt△CBD中，CD=BD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×10=5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了勾股定理，圆周角定理，解题的关键是求出∠CAB=∠CDV=90°．