Question

16．如图，A、B是⊙O上的两点，∠A0B=120°，C是$\widehat{AB}$的中点．
（1）求证：四边形OACB是菱形；
（2）延长OA至P使得0A=AP，连接PC，求证：PC是⊙O的切线．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由C是$\widehat{AB}$的中点，∠AOB=l20°，根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，则AC=OA=OB=BC，根据菱形的判定方法即可得到结论．
（2）欲证明PC是⊙O的切线，只需推知PC⊥OC即可．

解答 证明：（1）连结OC，如图，
∵C是$\widehat{AB}$的中点，∠AOB=l20°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
又∵OA=OC=OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC=OA=OB=BC，
∴四边形OACB是菱形．

（2）∵由（1）知，△OAC是等边三角形，
∴AC=OA，∠OAC=∠ACO=60°，
∴∠PAC=120°．
又∵0A=AP，
∴AP=AC，
∴∠APC=∠ACP=30°，
∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=90°，
即PC⊥OC．
又∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线．

点评 本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及菱形的判定．