Question

△ABC中，射线AD平分∠BAC，AD交边BC于E点．

（1）如图1，若AB=AC，∠BAC=90°，则

AB

AC

 

BE

EC

；
（2）如图2，若AB≠AC，则（1）中的结论是否仍成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图3，若AB＞AC，∠BAC=∠BDC=90°，∠ABD为锐角，DH⊥AB于H，则线段AB、AC、BH之间的数量关系是

 

，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据等腰三角形的在可以直接得出

AB

AC

=

BE

EC

；
（2）作EH⊥AB于H，EQ⊥AC于Q，AN⊥BC于N，根据角平分线的性质可以得出EH=EQ，由三角形的面积相等就可以求出结论；
（3）作DQ⊥AC交AC的延长线于Q，则DH=DQ，证△AHD≌△AQD，得AH=AQ，再证△DHB≌△DQC，得BH=CQ，有AB-BH=AC+CQ（BH），AB-AC=2BH．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴BE=CE．
∴

BE

CE

=1．
∵AB=AC，
∴

AB

AC

=1，
∴

AB

AC

=

BE

EC

．
故答案为：=；
（2）成立，
证明：作EH⊥AB于H，EQ⊥AC于Q，AN⊥BC于N，则EH=EQ，设AB=c，AC=b，BE=m，EC=n，EH=h₁，AN=h₂，
∵S△ABE：S△AEC=

1

2

h₁c÷

1

2

h₁b=c：b，S△ABE：S△AEC=

1

2

h₂m÷

1

2

h₂n=m：n，
∴c：b=m：n，
即

AB

AC

=

BE

EC

；
（3）AB-AC=2BH．
理由：作DQ⊥AC交AC的延长线于Q，
∴∠Q=90°
∵DH⊥AB，AD平分∠BAC，
∴DH=DQ，∠AHD=90°，∠HAD=∠CAD．
∴∠AHD=∠Q．
在△AHD和△AQD中，

∠HAD=∠CAD ∠AHD=∠Q HD=QD

，
∴△AHD≌△AQD（AAS），
∴AH=AQ．
∵∠BAC=90°，∠AHD=∠Q=90°，
∴四边形AHDQ是矩形，
∴∠HDQ=90°．
∵∠BDC=90°，
∴∠HDQ=∠BDC，
∴∠HDQ-∠HDC=∠BDC=∠HDC，
∴∠CDQ=∠BDH．
在△DHB和△DQC中

∠BDH=∠CDQ ∠BHD=∠CQD DH=DQ

∴△DHB≌△DQC（AAS），
∴BH=CQ，
∵AB-BH=AH，
∴AB-BH=AQ，
∴AB-BH=AC+CQ，
∴AB-AC=2BH．
故答案为：AB-AC=2BH．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．