Question

7．在直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（0，9）、（3，0），将点C向上平移至点B，若直线AB平行于x轴．
（1）求点B的坐标．
（2）在长方形ABCO中，有一动点P从O点出发，沿y轴的正半轴运动，速度为每秒1个单位长度；另一个动点Q从点B出发，沿射线BC运动，速度为每秒2个单位长度，若P、Q同时出发，设运动时间为t，则何时线段PQ平行于x轴？
（3）若在x轴上存在点D（1，0），在P、Q的运动过程中，是否存在t值，使得△PDQ的面积为梯形PABQ的面积的四分之一，并求出此时点P、Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标分别为（0，9）、（3，0），直线AB平行于x轴，BC∥y轴，据此即可求得点B的坐标；
（2）当线段PQ平行于x轴时，由PQ∥OC，PO∥QC可得，四边形OCQP为平行四边形，此时PO=QC，据此列出关于t的方程进行求解；
（3）根据△PDQ的面积为梯形PABQ的面积的四分之一，可得：梯形OCQP的面积-△POD的面积-△QCD的面积=$\frac{1}{4}$×梯形PABQ的面积，据此列出关于t的方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）点A、C的坐标分别为（0，9）、（3，0），直线AB平行于x轴，BC∥y轴，
∴点B的横坐标为3，纵坐标为9，
∴点B的坐标为（3，9）；

（2）由题可得，OP=t，BQ=2t，CQ=9-2t，AP=9-t，
如图1，当线段PQ平行于x轴时，由PQ∥OC，PO∥QC可得，四边形OCQP为平行四边形，
此时PO=QC，即t=9-2t，
解得t=3，
故当t=3时，线段PQ平行于x轴；

（3）如图2，∵点D（1，0），
∴OD=1，CD=2，
∵△PDQ的面积为梯形PABQ的面积的四分之一，
∴梯形OCQP的面积-△POD的面积-△QCD的面积=$\frac{1}{4}$×梯形PABQ的面积，
即$\frac{（t+9-2t）×3}{2}$-$\frac{1}{2}$×1×t-$\frac{1}{2}$×2×（9-2t）=$\frac{1}{4}$×$\frac{（2t+9-t）×3}{2}$，
解得t=3，
∴当t的值为3时，△PDQ的面积为梯形PABQ的面积的四分之一．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，三角形面积的计算等，解决问题的关键是掌握：平行四边形的对边相等，解题时注意：若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．