Question

7．如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的动点，PM⊥BE，PN⊥CE，垂足分别是M、N．
求：当AB和AD应满足怎样的数量关系时，四边形PMEN是矩形？请说明理由．

Answer 1

分析 由SAS证明△ABE≌△DCE，得出∠AEB=∠DEC，由矩形的性质得出∠BEC=90°，得出∠AEB=∠DEC=45°证出AE=DE=DC，即AD=2AB．

解答 解：当AD=2AB时．四边形PMEN为矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AB=DC，
又∵点E是矩形ABCD的边AD的中点．
∴AE=DE，
在△ABE和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=DE}\\{∠A=∠D}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴∠AEB=∠DEC，
∵四边形PMEN为矩形，
∴∠BEC=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°
∴AE=DE=DC，即AD=2AB．
∴当AD=2AB时；四边形PMEN为矩形．

点评 本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．