Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD平分∠BAC交BC于D，AB=

3

+1，求CD的长．

Answer 1

考点：勾股定理,角平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：过B作BE∥AC交AD的延长线于E，求出AC、BC的长，求出EB=AB=

3

+1，证△BDE∽△CDA，得出比例式，代入求出即可．

解答：解：
过B作BE∥AC交AD的延长线于E，
∵△ACB中，∠BAC=90°，AB=

3

+1，∠C=30°，
∴BC=2AB=2（

3

+1）=2

3

+2，
由勾股定理得：AC=

3

AB=

3

（

3

+1）=3+

3

，
∵BE∥AC，
∴∠E=∠CAD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠E=∠BAD，
∴BE=AB=

3

+1，
∵BE∥AC，
∴△BDE∽△CDA，
∴

BE

AC

=

BD

DC

，
∴

3 +1

3+ 3

=

2 3 +2-CD

CD

，
解得：CD=2

3

．

点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形的判定，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是得出关于CD的方程．