Question

已知：关于x的方程x²+（2k-1）x-2k-1=0．
（1）求证：无论k取何值，关于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有两个不相等的实数根．
（2）若此方程有一根为-1，求k的值及方程的另一个根．

Answer 1

考点：根的判别式,一元二次方程的解,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据△=（2k-1）²-4×1×（-2k）=4k²+1＞0，即可得出无论k取何值，关于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有两个不相等的实数根；
（2）把x=-1代入原方程得出（-1）²-（2k-1）-2k-1=0，求出k=

1

4

，再设方程的另一个根为x₂，根据根与系数的关系得出-x₂=-2×

1

4

-1再计算即可．

解答：证明：（1）∵△=（2k-1）²-4×1×（-2k）=4k²+1，k²≥0，
∴4k²+1＞0，
∴无论k取何值，关于x的方程 x²+（2k-1）x-2k-1=0都有两个不相等的实数根；

（2）若此方程有一根为-1，
则（-1）²-（2k-1）-2k-1=0，
解得：k=

1

4

，
设方程的另一个根为x₂，则-x₂=-2×

1

4

-1，
x₂=

3

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．