Question

如图，⊙O的直径AB为18，点E是AB上的动点，CD是过点E的弦，过点B的切线交AC的延长线于点F，且CD∥FB．
（1）若AC=12

2

，连接BC，分别求弦BC、CD的长．
（2）当点E位于OB的什么位置时，以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形，试说明理由．

Answer 1

考点：切线的性质,菱形的判定

专题：

分析：（1）利用勾股定理得出BC的长，再利用三角形面积得出EC的长，即可得出答案；
（2）利用对角线互相垂直且互相平分的四边形是菱形求出即可．

解答：解：（1）∵⊙O的直径AB为18，AC=12

2

，
∴BC=

AB2-AC2

=6，
∵过点B的切线交AC的延长线于点F，且CD∥FB，
∴∠ABF=∠AEC=90°，
∴EC×AB=BC×AC，
则EC=

BC×AC

AB

=

6×12 2

18

=4

2

，
故CD=2EC=8

2

；

（2）当点E位于OB的中点位置时，以O、C、B、D为顶点的四边形是菱形，
理由：由（1）得：CE=DE，BO⊥CD，
当EO=BE，
则DC与DC互相垂直，且互相平分，
故四边形OCBD是菱形．

点评：此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．