Question

19．定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点的距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．

（1）判断：一个内角为120°的菱形是等距四边形．（填“是”或“不是”）
（2）如图2，在5×5的网格图中有A、B两点，请在答题卷给出的两个网格图上各找出C、D两个格点，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为互不全等的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”，并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．
端点均为非等距点的对角线长为$\sqrt{10}$  端点均为非等距点的对角线长为3$\sqrt{2}$
（3）如图1，已知△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，∠AEB=∠DEC=90°，连结AD，AC，BC，若四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，求∠BCD的度数．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质和等边三角形的判定与性质即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，由勾股定理即可得出答案；
（3）由SAS证明△AEC≌△BED，得出AC=BD，由等距四边形的定义得出AD=AB=AC，证出AD=AB=BD，△ABD是等边三角形，得出∠DAB=60°，由SSS证明△AED≌△AEC，得出∠CAE=∠DAE=15°，求出∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE-∠CAE=30°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB和∠ACD的度数，即可得出答案．

解答 解：（1）一个内角为120°的菱形是等距四边形；
故答案为：是；
（2）如图2，图3所示：
在图2中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$$\sqrt{10}$；
在图3中，由勾股定理得：CD=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$；
故答案为：$\sqrt{10}$；3$\sqrt{2}$；                                                           
（3）解：连接BD．如图1所示：
∵△ABE与△CDE都是等腰直角三角形，
∴DE=EC，AE=EB，
∠DEC+∠BEC=∠AEB+∠BEC，
即∠AEC=∠DEB，
在△AEC和△BED中，$\left\{\begin{array}{l}{DE=CE}&{\;}\\{∠AEC=∠BED}&{\;}\\{AE=BE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△BED（SAS），
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是以A为等距点的等距四边形，
∴AD=AB=AC，
∴AD=AB=BD，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=60°-45°=15°，
在△AED和△AEC中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AC}&{\;}\\{DE=CE}&{\;}\\{AE=AE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△AEC（SSS），
∴∠CAE=∠DAE=15°，
∴∠DAC=∠CAE+∠DAE=30°，∠BAC=∠BAE-∠CAE=30°，
∵AB=AC，AC=AD，
∴$∠ACB=\frac{{{{180}°}-{{30}°}}}{2}={75°}$，$∠ACD=\frac{{{{180}°}-{{30}°}}}{2}={75°}$，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=75°+75°=150°．

点评 本题是四边形综合题目，考查了等距四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解决问题的关键．