Question

 已知：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CH垂直平分BD
（1）求证：AC平分∠BAD；     
（2）若∠BCD=60°，求证：AB+AD=AC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）过C作CM⊥AB，CN⊥AD，根据垂直平分线的性质可得CB=CD，然后证明△CBM≌△CND，进而得到CM=CN，再根据角平分线的判定可得AC平分∠BAD；
（2）延长BA到E，使AE=AD，然后△AED为等边三角形，△CBD是等边三角形，再证明△EBD≌△ACD，可得BE=AC，利用等量代换可得AD+AB=AC．

解答：证明：（1）过C作CM⊥AB，CN⊥AD，
∴∠BMC=∠CND=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDN=180°，
∴∠ABD=∠CDN，
∵CH垂直平分BD，
∴CB=CD，
在△CBM和△CDN中

∠CMB=∠CND ∠ABC=∠CDN CB=CD

，
∴△CBM≌△CND（AAS），
∴CM=CN，
∴AC平分∠BAD；

（2）延长BA到E，使AE=AD，
∵∠BCD=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴AD=ED，
∵CB=CD，∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD=CD，
∵∠ADE=∠BDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△CAD中

AD=DE ∠BDE=∠ADC DB=CD

，
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴BE=AC，
又∵AE=AD，BE=AE+AB，
∴AD+AB=AC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定，关键是找出证明三角形全等的条件．