Question

14．如图，已知点A，B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），在直线l：y=-$\frac{1}{2}$x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 （方法一）分∠CAB=90°、∠CBA=90°以及∠ACB=90°三种情况考虑，画出图形，利用数形结合即可解决问题．
（方法二）设点C的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），分∠CAB=90°、∠CBA=90°以及∠ACB=90°三种情况考虑：当∠CAB=90°时，由点A的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点C的坐标；当∠CBA=90°时，由点B的横坐标利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出点C的坐标；当∠ACB=90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入点C的坐标中即可得出点C的坐标．综上即可得出结论．

解答 解：（方法一）当∠CAB=90°时，此时点C为图中C₁；
当∠CBA=90°时，此时点C为图中C₂；
当∠ACB=90°时，以线段AB为直径画圆，圆与直线l交于点C₃、C₄两点，
此时∠AC₃B=∠AC₄B=90°．
综上所述：满足条件的点C有4个．
（方法二）设点C的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2）．
当∠CAB=90°时，CA⊥x轴，
∴m=-4，
∴点C的坐标为（-4，4）；
当∠CBA=90°时，CB⊥x轴，
∴m=2，
∴点C的坐标为（2，1）；
当∠ACB=90°时，有AC²+BC²=AB²，
即[m-（-4）]²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²+（m-2）²+（-$\frac{1}{2}$m+2）²=[2-（-4）]²，
解得：m=±$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴点C的坐标为（$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）或（-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，2+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．
综上所述：满足条件的点C有4个．
故选D．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、直角三角形以及勾股定理，解题的关键是：（方法一）依照题意画出图形，利用数形结合解决问题；（方法二）分∠CAB=90°、∠CBA=90°以及∠ACB=90°三种情况找出点C的坐标．