Question

【题目】如果一个三角形的两个内角α，β满足α+2β=90°，那么我们称这样的三角形为“非常三角形”．

（1）若△ABC是“非常三角形”，∠C＞90°，∠A=50°，则∠B= ．

（2）如图，△ABC中，AB=AC，D是边BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，连结AD．

①求证：△ADC为“非常三角形”．

②若sinB=，AB=8，弦AB上是否存在一点P，使得△BDP是“非常三角形”，若存在，请求出线段AP的长度；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或3．

【解析】

（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“非常三角形”的定义即可得；

（2）①先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质、等量代换即可得证；

②先解直角三角形求出，再根据三角形的外角性质求出，据此分如图1和如图2（见解析）两种情况，然后分别利用相似三角形的判定与性质求解即可得．

（1）

则由“非常三角形”的定义得：，即

解得

故答案为：；

（2）①∵BD是直径

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴是“非常三角形”；

②在中，，

设，则

由勾股定理得：，解得

∴

因为

所以根据“非常三角形”的定义，分以下两种情况：

情况1：如图1，若，是“非常三角形”

∵

∴

过点P作

由角平分线的性质得：

在和中，

，即

解得

情况2：如图2，若，是“非常三角形”

∵

∴

在和中，

，即

解得

综上，线段AP的长度为或3．