Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，，交轴于点，且抛物线的对称轴经过点，过点的直线交抛物线于另一点，点是该抛物线上一点，连接，，，．

（1）求直线及抛物线的函数表达式；

（2）试问：轴上是否存在某一点，使得以点，，为顶点的与相似？若相似，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点是直线上方的抛物线上一动点（不与点，重合），过作交直线于点，以为直径作，则在直线上所截得的线段长度的最大值等于_______．（直接写出答案）

Answer 1

【答案】（1） ；（2）相似，或；（3）

【解析】

(1)由二次函数的对称性及B点坐标先求出点A的坐标，代入中求出AD的解析式即可，再将A、B点坐标代入二次函数解析式中，结合对称轴联立方程组求出二次函数解析式.

(2)先计算出 ，此时AD∥BE，再分情况讨论P点在B点左侧和P点在B点右侧时的情形.

(3) 设在直线上所截得的线段为NK，过K点作KI⊥x轴于I点，NJ⊥x轴于J点，PK⊥NJ于P点，设M点的坐标为()，将N，K坐标分别用m的代数式表示，最后利用即可求解.

（1）由题可知，对称轴：，点

则点

得

直线

由题可得

解得，，

抛物线的函数关系式

（2）点在抛物线上

即

易求得直线

由题可得：

直线交抛物线于点，

可知，

则：

，，，

，，

设

①若点在点左侧时

（i）当时

则

即：

即：点

（ii）当时

则

即：

即：点

②若点在点右侧时

，

又

此时，与不相似

（3）在直线上所截得的线段长度的最大值等于，如下图所示：

设在直线上所截得的线段为NK，过K点作KI⊥x轴于I点，NJ⊥x轴于J点，PK⊥NJ于P点，

设M点坐标为()

∵BE⊥MN，∴，且

∴

∴直线MN的解析式为：，与直线BC联立方程组：

解得N点坐标为

∵MN是圆O的直径，∴∠MKN=90°

∴MK⊥BC，即，且

∴直线MK的解析式为：，与直线BC联立方程组：

解得K点坐标为

由图像可知，

∴

∴当时，最大值等于.

故答案为：.