Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，且此抛物线的顶点坐标为．

求此抛物线的解析式；

设点D为已知抛物线对称轴上的任意一点，当与面积相等时，求点D的坐标；

点P在线段AM上，当PC与y轴垂直时，过点P作x轴的垂线，垂足为E，将沿直线CE翻折，使点P的对应点与P、E、C处在同一平面内，请求出点坐标，并判断点是否在该抛物线上．

Answer 1

【答案】点D的坐标为或点不在该抛物线上

【解析】

由抛物线经过的C点坐标以及顶点M的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线解析式；

设点D坐标为，根据三角形的面积公式以及与面积相等，即可得出关于含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可得出结论；

作点P关于直线CE的对称点，过点作轴于H，设交y轴于点根据对称的性质即可得出≌，从而得出，由点A、M的坐标利用待定系数法可求出直线AM的解析式，进而得出点P的坐标，在中，由勾股定理可求出CN的值，再由相似三角形的性质以及线段间的关系即可找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中看等式是否成立，由此即可得出结论．

抛物线经过点，顶点为，

，解得：，

所求抛物线的解析式为，

依照题意画出图形，如图1所示，

令，解得：或，

故A，，

，为等腰直角三角形，

设AC交对称轴于，

由点、可知直线AC的解析式为，

，即，

设点D坐标为，

则．，

又，且，

，解得：或，

点D的坐标为或；

如图2，点为点P关于直线CE的对称点，过点作轴于H，设交y轴于点N．

在和中，，

≌，

设，则，

、可知直线AM的解析式为，

当时，，即点，

，，

在中，由勾股定理，得：，

解得：，

，

，

由∽可得：，

，

，

的坐标为，

将点代入抛物线解析式，

得：，

点不在该抛物线上．