Question

7．如图，AB与⊙O相切于点C，OA，OB分别交⊙O于点D，E，$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$
（1）求证：OA=OB；
（2）已知AB=4$\sqrt{3}$，OA=4，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由切线的性质可知∠ACO=90°，由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，所以∠AOC=∠BOC，从而可证明∠A=∠B，从而可知OA=OB；
（2）由（1）可知：△AOB是等腰三角形，所以AC=2$\sqrt{3}$，从可求出扇形OCE的面积以及△OCB的面积

解答 解：（1）连接OC，
∵AB与⊙O相切于点C
∴∠ACO=90°，
由于$\widehat{CD}$=$\widehat{CE}$，
∴∠AOC=∠BOC，
∴∠A=∠B
∴OA=OB，

（2）由（1）可知：△OAB是等腰三角形，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
∴sin∠COB=$\frac{BC}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠COB=60°，
∴∠B=30°，
∴OC=$\frac{1}{2}$OB=2，
∴扇形OCE的面积为：$\frac{60π×4}{360}$=$\frac{2π}{3}$，
△OCB的面积为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×2=2$\sqrt{3}$
∴S_阴影=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π

点评 本题考查切线的性质，解题的关键是求证OA=OB，然后利用等腰三角形的三线合一定理求出BC与OC的长度，从而可知扇形OCE与△OCB的面积，本题属于中等题型．