Question

1．你能化简 （a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）吗？
我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论．
（1）先填空：（a-1）（a+1）=a²-1；（a-1）（a²+a+1）=a³-1；（a-1）（a³+a²+a+1）=a⁴-1；…
由此猜想：（a-1）（a⁹⁹+a⁹⁸+a⁹⁷+…+a²+a+1）=a¹⁰⁰-1
（2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？
①求 2¹⁹⁹+2¹⁹⁸+2¹⁹⁷+…+2²+2+1 的值；
②若 a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0，则a⁶等于多少？

Answer 1

分析 （1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，归纳总结得到一般性规律，即可确定出结果；
（2）利用得出的结果将原式变形，计算即可得到结果．

解答 解：（1）a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1；
故答案为：a²-1；a³-1；a⁴-1；a¹⁰⁰-1；
（2）①（2-1）（2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2²+2+1）=2¹⁰⁰-1，由于2-1=1，
则2⁹⁹+2⁹⁸+2⁹⁷+…+2²+2+1=2¹⁰⁰-1；
②∵a⁶-1=（a-1）（a⁵+a⁴+a³+a²+a+1）=0，
∴a⁶=1，
∴a=±1，
但当a=1时，a⁵+a⁴+a³+a²+a+1=0不成立，
则a=-1．

点评 此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．