Question

13．综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-$\frac{3}{2}$，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B，正比例函数y=kx在第二象限与抛物线交于点P，与直线y=$\frac{1}{2}$x+2交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△PAC面积的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）是否存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分？

Answer 1

分析 （1）由直线y=$\frac{1}{2}$x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．可求得点A，与点C的坐标，然后利用对称性求得点B的坐标，再利用待定系数法求得函数的解析式；
（2）首先设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，即可表示出PQ的长，继而表示出△PAC面积，则可求得答案；
（3）分别从当S_△ADO：S_{四边形ODCB}=2：3时与当S_△ADO：S_{四边形ODCB}=3：2时去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵对于直线y=$\frac{1}{2}$x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-4．
∴点C（0，2），A（-4，0）．
∴由抛物线的对称性可知，点A与点B关于x=-$\frac{3}{2}$对称，
∴点B的坐标为B（1，0）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，可得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{16a-4b+c=0}\\{a+b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$．
∴抛物线的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x+2；

（2）设P（m，-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2），
如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q．
∴Q（m，$\frac{1}{2}$m+2），
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m²-$\frac{3}{2}$m+2-（$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{2}$m²-2m，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$×PQ×OA=$\frac{1}{2}$×PQ×4=2PQ，
∴S=2（-$\frac{1}{2}$m²-2m）=-m²-4m=-（m+2）²+4；
∴当m=-2时，△PAC的面积有最大值4．
此时P点坐标为（-2，3）．

（3）存在正比例函数y=kx，将△ABC的面积分为2：3的两部分．
则S_△ABC=$\frac{1}{2}$×AB×OC=$\frac{1}{2}$×5×2=5，
分两种情况：
①如图2，过点D作DM₁⊥AD，垂足为M₁，
当S_△ADO：S_{四边形ODCB}=2：3时，S_△ADO=$\frac{2}{5}$×5=2，
∴$\frac{1}{2}$×OA×DM₁=2，即$\frac{1}{2}$×4×DM₁=2，
∴DM₁=1．
把y=1代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得x=-2，
∴点D坐标为（-2，1）．
把x=-2，y=1，代入正比例函数y=kx中，
解得：k=-$\frac{1}{2}$；
②如图3，过点D作DM₂⊥AD，垂足为M₂，
当S_△ADO：S_{四边形ODCB}=3：2时，S_△ADO=$\frac{3}{5}$×5=3，
∴$\frac{1}{2}$×OA×DM₂=3，即$\frac{1}{2}$×4×DM₂=3，
∴DM₂=$\frac{3}{2}$．
把y=$\frac{3}{2}$代入y=$\frac{1}{2}$x+2，得x=-1，
∴点D坐标为（-1，$\frac{3}{2}$）．
把x=-1，y=$\frac{3}{2}$，代入正比例函数y=kx中，
解得：k=-$\frac{3}{2}$．
综上可得：k的值为-$\frac{1}{2}$或-$\frac{3}{2}$．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、三角形面积最值问题以及面积比问题．注意准确作出辅助线是解此题的关键．