Question

5．设函数y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]（k是常数）．
（1）当k=1和k=2时的函数y₁和y₂的图象如图所示，请你在同一坐标系中画出k=3时函数y₃的图象；
（2）根据图象，写出你发现的两条结论；
（3）将函数y₃的图象向左平移2个单位，再向下平移4个单位，得到函数y₄的图象．请写出函数y₄的解析式，回答自变量x取何值时，函数y₄的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）把k=3代入y=（x+1）[（k-2）x+（2k-3）]得到y=x²+4x+3，配方得到y=（x+2）²-1，所以函数y₃的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，-1），然后利用描点法画出函数y₃的图象；
（2）利用函数图象经过固定点进行回答；
（3）利用点平移的规律得到点（-2，-1）平移所得对应点的坐标为（-4，-5），然后根据顶点式写出y₄的解析式，然后根据二次函数的性质确定函数y₄的最小值．

解答 解：（1）当k=3时，y₃=（x+1）（x+3）=x²+4x+3=（x+2）²-1，
则函数y₃的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，-1），
如图，

（2）①图象都经过（-2，-1）和（-1，0）；
②图象总交x轴于点（-1，0）；
（3）函数y₃的对称轴为直线x=-2，顶点坐标为（-2，-1），把点（-2，-1）向左平移2个单位，再向下平移4个单位所得对应点的坐标为（-4，-5），
所以函数y₄的解析式为y=（x+4）²-5，
当x取-4时，函数y₄的最小值是-5．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．也考查了二次函数的图象．