Question

如图，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE平分∠OBA，CF⊥BE于F，交OB于G．
（1）求证：OE=OG．
（2）若E在O、A两点之间运动（不与O、A重合），CF保持与BE的垂直关系，那么OE与OG还相等吗？（不需要证明）

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据正方形对角线平分一组对角和角平分线的定义求出∠OBE=22.5°，再求出∠OCG=22.5°，从而得到∠OBE=∠OCG，再根据正方形的对角线互相平分且相等求出OB=OC，然后利用“角边角”证明△OBE和△OCG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG；
（2）根据同角的余角相等求出∠OBE=∠OCG，再利用“角边角”证明△OBE和△OCG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG．

解答：（1）证明：∵正方形ABCD中，BE平分∠OBA，
∴∠OBE=22.5°，
∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG=22.5°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE=∠OCG OB=OC ∠BOE=∠COG=90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG；

（2）解：OE=OG．
理由如下：∵AC⊥BD，CF⊥BE，
∴∠OCG+∠OEB=90°，∠OBE+∠OEB=90°，
∴∠OBE=∠OCG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠BOE=∠COG=90°，
在△OBE和△OCG中，

∠OBE=∠OCG OB=OC ∠BOE=∠COG=90°

，
∴△OBE≌△OCG（ASA），
∴OE=OG．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出全等三角形和三角形全等的条件是解题的关键．