Question

14．关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k=4时方程的两根分别为x₁、x₂，求x₁+x₂，x₁x₂，x₁²+x₂²的值．

Answer 1

分析 （1）由方程有两个不相等的实数根即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式即可得出k的取值范围；
（2）将k=4代入原方程，利用根与系数的关系即可得出两根之和与两根之积的值，再将x₁²+x₂²转化成只含两根之和与两根之积的算式，代入数据即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的方程kx²+（k+2）x+$\frac{k}{4}$=0有两个不相等的实数根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{△=（k+2）^{2}-4×k×\frac{k}{4}＞0}\end{array}\right.$，
解得：k＞-1且k≠0．
（2）当k=4时，原方程为4x²+6x+1=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{6}{4}$=-$\frac{3}{2}$，x₁x₂=$\frac{1}{4}$，
∴x₁²+x₂²=$（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}$-2x₁x₂=$\frac{7}{4}$．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）找出关于k的一元一次不等式；（2）根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程根的情况结合根的判别式得出不等式（不等式组）是关键．