Question

【题目】如图，直线与轴、轴分别相交于、两点，抛物线经过点，交轴正半轴于点．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点是抛物线上的一个动点，并且点在第一象限内，连接、，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数表达式，并求出的最大值及此时动点的坐标；

（3）将点绕原点旋转得点，连接、，在旋转过程中，一动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度运动到，再沿线段以每秒个单位长度的速度运动到后停止，求点在整个运动过程中用时最少是多少？

Answer 1

【答案】（1）；（2），的最大值是，此时动点的坐标是；（3）秒．

【解析】

（1）根据直线l的解析式可求出点B坐标，把点B坐标代入可求出a值，即可得抛物线解析式；

（2）如图，连接OM，过点M作ME⊥y轴于E，MD⊥x轴于D，根据（1）中所求抛物线解析式可求出点C坐标，可得出m的取值范围，根据直线l解析式可求出A点坐标，根据即可得S关于m的关系式，利用二次函数的性质即可求出S的最大值和点M的坐标；

（3）如图，根据题意作点H（0，），连接HA′、OA′、BA′、CA′，可证明，可得，根据，利用勾股定理求出HC的长即可得点在整个运动过程中用时最少的时间．

（1）将代入，得，

∴点的坐标为，

∵抛物线经过点，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：．

（2）如图，连接OM，过点M作ME⊥y轴于E，MD⊥x轴于D，

将代入，得，，

∴点的坐标为，

∵点是抛物线上的一个动点，并且点在一象限内，点的横坐标为，

∴，点的坐标为，

将代入，得，

∴点的坐标，

∴

=OB·ME+OA·MD-OB·OA

，

化简得：，

当时，-m2+2m+3=，

∴时，取得最大值，的最大值是，此时动点的坐标是．

（3）如图，取点的坐标为，连接、，

∵，，

∴，

∴，即，

∵点P在BA′上运动的速度是每秒3个单位长度，在CA′上运动的速度是每秒1个单位长度，

∴在BA′上运动的时间为，在CA′上运动的时间为A′C，

∵，

∴点在整个运动过程中用时，即点在整个运动过程中用时最少是秒．