Question

2．如图①，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，O是线段AB的中点，点D在线段AC上．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，求证：△MON是等腰直角三角形；
（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D₁CE₁（如图②），若M₁ 是线段BE₁的中点，N₁是线段AD₁的中点，试猜测△M₁ON₁的形状．（要求直接写出结论，不要求证明）

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质得出CA=CB，CD=CE，再利用SAS证明三角形全等即可；
（2）延长BD交AE于H，BD与OM相交于G，再利用三角形中位线的定理OM=ON，进而证明等腰直角三角形即可；
（3）根据等腰直角三角形的判定得出△M₁ON₁是等腰直角三角形即可．

解答 解：（1）∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CD=CE，
在△BCD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CA}\\{∠BCD=∠ACE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
（2）延长BD交AE于H，设BD与OM相交于G，如图①，

∵△BCD≌△ACE，
∴BD=AE，∠DBC=∠EAC，
又∵∠DBC+∠BDC=90°，∠BDC=∠ADH，
∴∠EAC+∠ADH=90°，
∴∠AHD=90°，
∵O是线段AB的中点，M是线段BE的中点，
∴OM∥AE且OM=$\frac{1}{2}$AE，
同理可证：ON∥BD，ON=$\frac{1}{2}$BD，
∴OM=ON，
∵OM∥AE，
∴∠BGO=∠AHD=90°，
∵ON∥BD，
∴∠MON=∠BGO=90°，
∴△MON是等腰直角三角形；
（3）延长BD₁交AC于H，设BD₁与OM₁相交于G，如图②，

与（2）的证明相同得出△M₁ON₁是等腰直角三角形．

点评 此题考查几何变换问题，关键是根据等腰直角三角形的性质和判定进行分析，同时利用三角形的全等的判定解决问题．