Question

已知△ABC是等边三角形，点P是边AC上的一点（点P不与点A，C重合 ）PE⊥BC于点E，在CB的延长线上截取BD=PA，连接PD，设PA=nPC．
（1）如图1，若n=1，求EB：BD的值；
（2）如图2，若∠EPD=60°，试求n的值，并求出此时EB：BD的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）在Rt△PEC中可得到PC和EC的关系，从而可找到AP、BC和EC的关系，则可求得BE：BD的值；
（2）当∠EPD=60°时，可找到AP与EC的关系，可求得n的值，同理用EC表示出BD和BE，可求出比值．

解答：解：（1）当n=1时，即PA=PC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，且PE⊥BC，
∴PC=2EC，
∴BD=AP=2EC，BC=AC=2AP=4EC，
∴BE=BC-EC=4EC-EC=3EC，
∴EB：BD=3EC：2EC=3：2；
（2）在Rt△PEC中，∠C=60°，
∴PC=2EC，PE=

3

EC，
∵∠EPD=60°，
∴在Rt△PED中，DE=

3

PE=3EC，
∴DC=BC+BD=3EC
∵BD=AP，BC=AC=AP+PC，
∴AP+AP+PC=3EC，
∴2AP=2EC，即AP=EC，
∴AP=

1

2

PC，
∴n=

1

2

，
此时BD=AP=EC，BE=BC-EC=3EC-EC=2EC，
∴EB：BD=2EC：EC=2：1．

点评：本题主要考查等边三角形的性质及含特殊角的直角三角形的性质，利用条件找到AP、PC、BE与EC的关系是解题的关键，注意含30°角的直角三角形的性质的利用．