Question

如图，双曲线y=

k

x

经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为

5

2

，则k的值是（　　）

A．4

B．5

C．6

D．7

Answer 1

分析：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F，设N的坐标是（a，b），根据相似三角形的性质即可表示出A的坐标，从而利用a，b表示出k的值，求得B的坐标，则△OAB的面积即可利用a，b表示出来，从而求得ab的值，则k的值即可求得．

解答：解：作AE⊥x轴于E，AF⊥y轴于F．
则AE∥MN，
∴△AOE∽△NOM，
∴

OE

OM

=

OA

ON

=

2

3

，即AE=

2

3

MN，OE=

2

3

OM，
同理：NF=

1

3

MN，MF=

2

3

MN，
设N的坐标是（a，b），则A的坐标是（

2

3

a，

2

3

b），
代入y=

k

x

得：k=

4

9

ab，
在y=

k

x

中，令x=a，则y=

4b

9

，故B的坐标是：（a，

4

9

b），即BM=

4b

9

，NB=b-

4b

9

=

5b

9

．
∴S_△OBM=

1

2

OM•BM=

1

2

a•

4b

9

=

2ab

9

，
S_△ABN=

1

2

BN•AF=

1

2

×

5b

9

×

1

3

a=

5ab

54

，
又∵S_△OMN=

1

2

ab，
∴S_△OAB=

1

2

ab-

2ab

9

-

5ab

54

=

5

27

ab=

5

2

，
∴ab=

27

2

．
∴k=

4

9

×

27

2

=6．
故选C．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定与性质的综合应用，正确表示出B的坐标是关键．