Question

（2012•扬州）如图，双曲线y=

k

x

经过Rt△OMN斜边上的点A，与直角边MN相交于点B，已知OA=2AN，△OAB的面积为5，则k的值是

12

．

Answer 1

分析：过A点作AC⊥x轴于点C，易得△OAC∽△ONM，则OC：OM=AC：NM=OA：ON，而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），得到N点坐标为（

3

2

a，

3

2

b），由点A与点B都在y=

k

x

图象上，
根据反比例函数的坐标特点得B点坐标为（

3

2

a，

2

3

b），由OA=2AN，△OAB的面积为5，△NAB的面积为

5

2

，则△ONB的面积=5+

5

2

=

15

2

，根据三角形面积公式得

1

2

NB•OM=

15

2

，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，化简得ab=12，即可得到k的值．

解答：解：过A点作AC⊥x轴于点C，如图，
则AC∥NM，
∴△OAC∽△ONM，
∴OC：OM=AC：NM=OA：ON，
而OA=2AN，即OA：ON=2：3，设A点坐标为（a，b），则OC=a，AC=b，
∴OM=

3

2

a，NM=

3

2

b，
∴N点坐标为（

3

2

a，

3

2

b），
∴点B的横坐标为

3

2

a，设B点的纵坐标为y，
∵点A与点B都在y=

k

x

图象上，
∴k=ab=

3

2

a•y，
∴y=

2

3

b，即B点坐标为（

3

2

a，

2

3

b），
∵OA=2AN，△OAB的面积为5，
∴△NAB的面积为

5

2

，
∴△ONB的面积=5+

5

2

=

15

2

，
∴

1

2

NB•OM=

15

2

，即

1

2

×（

3

2

b-

2

3

b）×

3

2

a=

15

2

，
∴ab=12，
∴k=12．
故答案为12．

点评：本题考查了反比例函数综合题：反比例函数y=

k

x

图象上的点的横纵坐标的积都等于k；利用相似三角形的判定与性质求线段之间的关系，从而确定某些点的坐标．