Question

14．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC＞90°，它的两条高AD，BE交于点F，过点F作FH∥BC交BA的延长线于点H，问AD，FH，CD之间有什么样的数量关系？并说明你的结论．

Answer 1

分析 结论：CD=AD+FH，先证明△ABD和△AFH都是等腰直角三角形，再证明△ADC≌△BDF得CD=DF=AD+AF=AD+FH得证．

解答 结论：CD=AD+FH，理由如下，
证明：∵AD⊥BC，BE⊥CA，
∴∠ADC=∠ADB=∠BDF=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=∠FAH=∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵FH∥BC，
∴∠H=∠ABD=45°，
∴∠H=∠FAH，
∴FH=AF，
∵∠C+∠EBC=90°，∠BFD+∠EBC=90°，
∴∠C=∠BFD，
在△ADC和△BDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠BFD}\\{∠ADC=∠BDF}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△BDF，
∴CD=DF=AD+AF=AD+FH．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，寻找全等三角形是解决问题的关键，属于中考常考题型．