Question

12．如图，已知正方形ABCD，AB=3，点E在线段AB上，AE=1连结DE，DE的垂直平分线交DE于点P，交DC的延长线于点Q，PQ交BC于点G，连结EQ，EQ交BC于点F，连结GE．
（1）求证：△ADE∽△PQD；
（2）求线段CQ的长；
（3）求∠EGB的正切值．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到DC∥AB，得到∠AED=∠PDQ，根据两角对应相等的两个三角形相似证明；
（2）根据勾股定理求出DE，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）根据相似三角形的性质求出CG，根据正切的概念计算即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC∥AB，
∴∠AED=∠PDQ，又∠DAE=∠QPD=90°，
∴△ADE∽△PQD；
（2）解：由勾股定理得，DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵PQ是DE的垂直平分线，
∴DP=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{10}$，
∵△ADE∽△PQD，
∴$\frac{DE}{DQ}$=$\frac{AE}{DP}$，即$\frac{\sqrt{10}}{DQ}$=$\frac{1}{\frac{1}{2}\sqrt{10}}$，
解得，DQ=5，
则CQ=DQ-DC=5-3=2；
（3）由勾股定理得，PQ=$\sqrt{D{Q}^{2}-D{P}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，
∵∠QCG=∠QPD=90°，∠CQG=∠PQD，
∴△CQG∽△PQD，
∴$\frac{CG}{DP}$=$\frac{CQ}{PQ}$，即$\frac{CG}{\frac{1}{2}\sqrt{10}}$=$\frac{2}{\frac{3\sqrt{10}}{2}}$，
解得，CG=$\frac{2}{3}$，
∴BG=3-$\frac{2}{3}$=$\frac{7}{3}$，
∴tan∠EGB=$\frac{BE}{BG}$=$\frac{6}{7}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握正方形的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．