Question

设x_i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x₁，x₂，x₃，…，x_n}表示x₁，x₂，…，x_n中的最大值，如y=max{1，2}=2
（1）求y=max{x，3}；
（2）借助函数图象，解决以下问题：
①解不等式 max{x+1，

2

x

}≥2
②若函数y=max{|x-1|，

1

2

x+a，x²-4x+3}的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数的性质,反比例函数的性质

专题：新定义

分析：（1）根据规定，分x≥3和x＜3两种情况求解；
（2）①画出函数y=x+1和y=

2

x

的图象得到交点坐标为（1，2），然后根据规定写出不等式的解集即可；
②画出函数y=|x-1|，y=x²-4x+3的图象，可知最小值为y=

1

2

x+a与抛物线的交点，令y=1根据抛物线解析式求出x的值，再代入直线解析式求出a的值即可．

解答：解：（1）y=

x(x≥3) 3(x＜3)

；
（2）①

由图可知，两函数图象交点为（1，2），
∴不等式max{x+1，

2

x

}≥2的解集为x＞0；
②

由图可知，最小值为y=

1

2

x+a与抛物线y=x²-4x+3的交点，
∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-

2

，x₂=2+

2

（舍去），
∴

1

2

×（2-

2

）+a=1，
解得a=

2

2

．

点评：本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，以及作函数图象，读懂题目信息，理解y=max{x₁，x₂，x₃，…，x_n}的意义是解题的关键．