Question

12．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x-1与双曲线y=$\frac{k}{x}$相交于A，B两点，与x轴，y轴分别相交于C，D两点，已知AD=BC=2CD．
（1）求A，B两点的坐标及k的值；
（2）请写出关于x的不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集．

Answer 1

分析 （1）令一次函数解析式中y=0求出x值，即可得出点C的坐标，作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，则∠AEO=∠DOC=∠BFO=90°，进而得出AE∥OD∥BF，根据平行线的性质结合AD=BC=2CD即可得出OE、OF的长度，再根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出点A、B的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；
（2）根据函数图象上下位置关系结合交点A、B的坐标即可得出不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集．

解答 解：（1）当y=$\frac{1}{2}$x-1=0时，x=2，
∴点C的坐标为（2，0），
∴OC=2．
作AE⊥x轴于E，作BF⊥x轴于F，如图所示．
则∠AEO=∠DOC=∠BFO=90°，
∴AE∥OD∥BF，
∴$\frac{OE}{OC}=\frac{AD}{CD}$，$\frac{CF}{OC}=\frac{BC}{CD}$，
∵AD=BC=2CD，
∴OE=CF=2OC=4，OF=OC+CF=6，
∴E（-4，0），F（6，0）．
当x=-4时，y=$\frac{1}{2}$x-1=-3，
∴点A的坐标为（-4，-3）；
当x=6时，y=$\frac{1}{2}$x-1=2，
∴点B的坐标为（6，2）．
∵点A、B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴k=6×2=12．
（2）观察函数图象可知：当x＜-4或0＜x＜6时，反比例函数图象在一次函数图象上方，
∴不等式$\frac{k}{x}$-$\frac{1}{2}$x+1＞0的解集为x＜-4或0＜x＜6．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平行线的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及反比例函数图象上点的坐标特征，根据平行线的性质找出OD、OF的值是解题的关键．