Question

如图，AB是⊙O的直径，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O切线CF，分别交AD、BE于点M、N，连接AC、CB、OM、ON．若AB＝2，∠ABC＝30°．给出以下结论：①△NBC是等边三角形；②△MON∽△ACB；③AM＝，BN＝；④△AMC的面积与△BNC的面积之比为1：9．其中正确的结论有： （把你认为正确结论的序号都填上）．

Answer 1

①②③④．

【解析】

试题分析：∵AB是⊙O直径，BE是⊙O切线，∴∠ABE=90°，∵∠ABC＝30°，∴∠CBN=60°，∵CE=BE，∴△NBC是等边三角形，∴①正确；

∵△NBC是等边三角形，∴∠CNO=∠ONB=30°，∴∠EOB=60°，连接OC，∵OB=OC，且∠ABC=30°，∴∠BCO=∠ABC=30°，∵∠AOC为△BOC的外角，∴∠AOC=2∠ABC=60°，∵MA，MC分别为圆O的切线，∴MA=MC，且∠MAO=∠MCO=90°，在Rt△AOM和Rt△COM中，∵MA=MC，OM=OM，∴Rt△AOM≌Rt△COM（HL），∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30°，∴∠MOE=90°，在△MON和△ACB中，∵∠MON=∠ACB=90°，∠CNO=∠CBA=30°，∴△MON∽△ACB，∴②正确；

∵在Rt△AOM中，OA=AB=1，∠AOM=30°，∴tan30°=，即，解得：AM=，BN=OB=，∴③正确；

△AMC的面积=，△BNC的面积=，∴△AMC的面积与△BNC的面积之比=，∴④正确．故答案为：①②③④．

考点：1．切线的性质；2．相似三角形的判定；3．解直角三角形．