Question

方程x²+4x-1=0的根可视为函数y=x+4的图象与函数的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出：当m取任意正实数时，方程x³+mx-1=0的实根x₀一定在_____范围内．

1. A.
   -1＜x₀＜0
2. B.
   0＜x₀＜1
3. C.
   1＜x₀＜2
4. D.
   2＜x₀＜3

Answer 1

B
分析：根据题意方程x³+mx-1=0的根可视为函数y=x²+m的图象与函数的图象交点的横坐标，由于当m取任意正实数时，函数y=x²+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，得到它们的交点的横坐标为正数，观察函数图象得抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，然后求出当m=0时，y=x²与的交点A的坐标为（1，1），于是得到
当m取任意正实数时，方程x³+mx-1=0的实根x₀一定在0＜x₀＜1的范围内．
解答：∵方程x³+mx-1=0变形为x²+m-=0，
∴方程x³+mx-1=0的根可视为函数y=x²+m的图象与函数的图象交点的横坐标，
∵当m取任意正实数时，函数y=x²+m的图象过第一、二象限，函数的图象分别在第一、三象限，
∴它们的交点在第一象限，即它们的交点的横坐标为正数，
∵当m取任意正实数时，函数y=x²+m的图象沿y轴上下平移，且总在x轴上方，抛物线顶点越低，与函数的图象的交点的横坐标越大，
当m=0时，y=x²与的交点A的坐标为（1，1），
∴当m取任意正实数时，方程x³+mx-1=0的实根x₀一定在0＜x₀＜1的范围内．
故选B．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数解析式．也考查了阅读理解能力以及数形结合的思想．