题目内容
【题目】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，∠ABC＝30°，动点 P 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 2cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒
cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒(0≤t≤6)，连接 PQ，以 PQ 为直径作⊙O．
(1)当 t＝1 时，求△BPQ 的面积；
(2)设⊙O 的面积为 y，求 y 与 t 的函数解析式；
(3)若⊙O 与 Rt△ABC 的一条边相切，求 t 的值．
【答案】(1)
；(2)y＝
t2-18πt+27π；(3)t 的值为 3 或
或 0 或
．
【解析】
(1)连接DP,根据△BPM~△BAC,可得PD=t,BQ=
(6-t),然后得到
=
BQ·PD即可得出结论;
(2)先表示出DP,BD,进而利用勾股定理求出PQ的平方,最后用圆的面积公式即可得出结论;
(3)分
O与BC相切、O与AB相切, O与AC相切时,三种情况分类讨论即可得出结论.
解：
(1)如图 1，
在 Rt△ABC 中，∠ABC＝30°，AC＝6，
∴AB＝12，BC＝6
，
由运动知，BP＝2t，CQ＝t，
∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，连接 DP，
∵PQ 是⊙O 的直径，
∴∠PDQ＝90°
∵∠C＝90°，
∴PD∥AC．
∴△BPD∽△BAC，
∴
＝
∴
＝
，
∴DP＝t，BD＝ 
t，
＝ 
BQPD＝ ×(6﹣t)t＝﹣
t
+3 t
∴当 t＝1 时，＝
﹣
+3＝
；
(2)DQ＝|BQ﹣BD|＝| (6﹣t)﹣ t|＝2|3﹣t|，PQ＝PD+DQ＝t+[2
(3﹣t)]＝13t﹣72t+108，
∴y＝π×(
)＝ 
t﹣18πt+27π，
(3)由运动知，BP＝2t，CQ＝
t，
∴BQ＝BC﹣CQ＝(6﹣t)，当⊙O 与 BC 相切时，PQ⊥BC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴
∴
∴
＝3，
当⊙O 与 AB 相切时，PQ⊥AB，
∴△BPQ∽△BCA
∴
∴
，
∴
＝ 
，
当⊙O 与 AC 相切时，
如图 2 ，
过点 O 作 OH⊥AC 于点 H，交 PD 于点 N，
∴OH∥BC，
∵点 O 是 PQ 的中点，
∴ON＝ 
QD，
由(1)知，BQ＝
(6﹣t)，BD＝t，
∴QD＝BD﹣BQ＝2(t﹣3)，DC＝BC﹣BD＝6﹣t＝(6﹣t)
∴OH＝ON+NH＝ 
QD+DC＝ ×2 (t﹣3)+ (6﹣t)＝3 ，
∴PQ＝2OH＝6，
由(2)知，PQ＝13t﹣72t+108
∴13t﹣72t+108＝36×3解得 
＝0，
＝，
综上所述，若⊙O 与 Rt△ABC 的一条边相切，t 的值为 3 或或 0 或．
