Question

19．如图，△OAB的OA边在x轴上，其中B点坐标为（3，4）且OB=BA．
（1）求经过A，B，O三点的抛物线的解析式；
（2）将（1）中的抛物线沿x轴平移，设点A，B的对应点分别为点A′，B′，若四边形ABB′A′为菱形，求平移后的抛物线的解析式．

Answer 1

分析 （1）设所求抛物线的解析式为y=ax（x-6），将（3，4）代入即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到BA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，根据菱形的性质得到BB′=BA=5，①若抛物线沿x轴向右平移，求得B′（8，4），于是得到平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x-8）²+4；②若抛物线沿x轴向左平移，得到B′（-2，4），于是得到平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4．

解答 解：（1）∵B点坐标为（3，4）且OB=BA，
∴A（6，0），
设所求抛物线的解析式为y=ax（x-6），将（3，4）代入，可得4=-9a，
∴a=-$\frac{4}{9}$，
∴y=-$\frac{4}{9}$x（x-6）=-$\frac{4}{9}$x²+$\frac{8}{3}$x；
（2）∵B点坐标为（3，4），OB=BA，
∴A（6，0），
∴BA=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∵四边形ABB′A′为菱形，
∴BB′=BA=5，
①若抛物线沿x轴向右平移，则B′（8，4），
∴平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x-8）²+4；
②若抛物线沿x轴向左平移，则B′（-2，4），∴平移后抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+2）²+4．

点评 本题考查了二次函数的图象与几何变换，菱形的性质，等腰三角形的性质，待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．