Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AE′、BE′，求AE′+BE′的最小值．

Answer 1

【答案】（1）a=-，y=-x+3;(2)2；（3）.

【解析】

令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式.

由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题.

在y轴上，取一点M使得OM＝，构造相似三角形，可以证明AM就是E′A＋E′B的最小值.

将A（4,0）代入抛物线解析式得，a＝-，抛物线解析式为-

当x=0时，y=3，所以B（0,3），设直线解析式为y=kx+b，将A，B点的坐标代入得

解得

y＝-

（2）因为E（m，0）（0＜m＜4），

OE＝m、AE＝4－m、PE＝-m2＋m＋3，①

由平行，可证 △AEN ∽△AOB，

因其对应边成比例，得

AN＝(4－m)，NE＝(4－m)，

由两角相等，可证 △AEN∽△PMN，

又＝，得

＝

PN＝(4－m)

PE＝PN+NE＝ (4－m) ②，

由①②得m＝2或m＝-4(负不合，舍）

所以m＝2.

（3）由m＝2得E（2，0），OE＝OE′＝2.

在y轴上取F，使＝，

（此处可得OF＝，勾股定理得AF＝ )

又＝，

且∠FOE′=∠E′OB，

∴△FOE′∽△E′OB，

∴＝

FE′＝E′B，

E′A+E′B=E′A+FE′≥AF=

最小值为 .