Question

【题目】如图，以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形ABDI，BCFE，ACHG．

（1）求证：△BDE≌△BAC；

（2）求证：四边形ADEG是平行四边形．

（3）直接回答下面两个问题，不必证明：

①当△ABC满足条件_____________________时，四边形ADEG是矩形．

②当△ABC满足条件_____________________时，四边形ADEG是正方形？

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①∠BAC=135°；②∠BAC=135°且AC=

【解析】

（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得△BDE≌△BAC；

（2）由△BDE≌△BAC，可得全等三角形的对应边DE=AG．然后利用正方形对角线的性质、周角的定义推知∠EDA+∠DAG=180°，易证ED∥GA；最后由“一组对边平行且相等”的判定定理证得结论；

（3）①根据“矩形的内角都是直角”易证∠DAG=90°．然后由周角的定义求得∠BAC=135°；

②由“正方形的内角都是直角，四条边都相等”易证∠DAG=90°，且AG=AD．由正方形ABDI和正方形ACHG的性质证得：ACAB．

（1）∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，∴AC=AG，AB=BD，BC=BE，∠GAC=∠EBC=∠DBA=90°，∴∠ABC=∠EBD（同为∠EBA的余角）．

在△BDE和△BAC中，∵，∴△BDE≌△BAC（SAS）；

（2）∵△BDE≌△BAC，∴DE=AC=AG，∠BAC=∠BDE．

∵AD是正方形ABDI的对角线，∴∠BDA=∠BAD=45°．

∵∠EDA=∠BDE﹣∠BDA=∠BDE﹣45°，∠DAG=360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD=360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°=225°﹣∠BAC，∴∠EDA+∠DAG=∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC=180°，∴DE∥AG，∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．

（3）①当四边形ADEG是矩形时，∠DAG=90°．

则∠BAC=360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC=360°﹣45°﹣90°﹣90°=135°，即当∠BAC=135°时，平行四边形ADEG是矩形；

②当四边形ADEG是正方形时，∠DAG=90°，且AG=AD．

由①知，当∠DAG=90°时，∠BAC=135°．

∵四边形ABDI是正方形，∴ADAB．

又∵四边形ACHG是正方形，∴AC=AG，∴ACAB，∴当∠BAC=135°且ACAB时，四边形ADEG是正方形．