题目内容
已知a2+3a+1=0，求
a+
，a2+
，a3+
，a4+
．
a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
分析：解决这类求值题时，应先观察题目的特点，就本题而言，如果想通过已知条件求出字母a的值再代入，可能比较困难，所以应考虑利用转化及整体思想解题．结合所给已知条件，不难将其转化为a+
=-3，这样就可以依次求得a2+
、a3+
、a4+
的值了．
| 1 |
| a |
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a4 |
解答：解：∵a2+3a+1=0，
∴将等式a2+3a+1=0两边同时除以a（a≠0）得：a+
=-3；
∵a+
=-3，
∴两边同时平方得：（a+
）2=（-3）2=9，
∴（a+
）2=a2+
+2=9，
∴a2+
=7；
a3+
=（a+
）（a2+
-1）=-3×（7-1）=-18；
由a2+
=7，两边再次平方，得（a+
）2=72
∴a4+
=（a2+
）2-2=49-2=47．
∴将等式a2+3a+1=0两边同时除以a（a≠0）得：a+
| 1 |
| a |
∵a+
| 1 |
| a |
∴两边同时平方得：（a+
| 1 |
| a |
∴（a+
| 1 |
| a |
| 1 |
| a2 |
∴a2+
| 1 |
| a2 |
a3+
| 1 |
| a3 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a2 |
由a2+
| 1 |
| a2 |
| 1 |
| a2 |
∴a4+
| 1 |
| a4 |
| 1 |
| a2 |
点评：此题主要考查了立方差公式的应用以及分式的计算，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．就本节内容而言，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
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