Question

9．如图，四边形ABCF内接于⊙O，∠BAF=90°，延长半径AO交CF于点E，作ED⊥AB于点D，ED与CB的延长线交于点P．连接AP．
（1）求证：PD•PE=PB•PC；
（2）求证：PA为⊙O的切线；
（3）连接AC，若AE：AC=1：$\sqrt{3}$，AB=6，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）只要证明△PDB∽△PCE，得$\frac{PD}{PC}$=$\frac{PB}{PE}$即可证明．
（2）如图2中，连接BF、AC．只要证明A、E、C、P四点共圆，推出∠EAP+∠ECP=180°，由∠ECP=90°，推出∠EAP=90°即可．
（3）如图3中，连接AC．由△ABP∽△AFE，得$\frac{PB}{EF}$=$\frac{PA}{AE}$，即$\frac{PB}{PA}$=$\frac{EF}{AE}$，由△APB∽△CPA，得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，推出$\frac{AB}{AC}$=$\frac{EF}{AE}$，即EF=AB•$\frac{AE}{AC}$由此即可证明．

解答 （1）证明：如图1中，

∵∠FAB=90°，∠FAB+∠FCB=180°，
∴∠ECB=90°
∵ED⊥AB
∴∠PDB=∠OCE=90°，
∵∠DPB=∠EPC，
∴△PDB∽△PCE，
∴$\frac{PD}{PC}$=$\frac{PB}{PE}$，
∴PD•PE=PB•PC．

（2）证明：如图2中，连接BF、AC．

∵∠EDB=∠FAB=90°，
∴PE∥AE，
∴∠FAE=∠AEP，
∵∠FAB=90°，
∴BF是直径，
∴OF=OA，
∴∠OFA=∠OAF=∠ACP，
∴AEP=∠ACP，
∴A、E、C、P四点共圆，
∴∠EAP+∠ECP=180°，
∵∠ECP=90°，
∴∠EAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切线．

（3）解：如图3中，连接AC．

由（2）可知，∠OAP=90°，∠FAE=∠ACB，
∴∠OAD+∠PAD=90°，∠EAF+∠OAD=90°，
∴∠FAE=∠PAB=∠ACP，
∵∠ABP=∠AFE，
∴△ABP∽△AFE，
∴$\frac{PB}{EF}$=$\frac{PA}{AE}$，
∴$\frac{PB}{PA}$=$\frac{EF}{AE}$，
∵∠PAB=∠ACP，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{EF}{AE}$，
∴EF=AB•$\frac{AE}{AC}$，
∵AB=6，AE：AC=1：$\sqrt{3}$，
∴EF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、切线的判定、四点共圆等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，需要正确寻找相似三角形，属于中考压轴题．