Question

10．若点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=4，则△ABC的面积为8-4$\sqrt{3}$或8+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可以求出不同情况下△ABC的面积．

解答 解：由题意可得，
当△ABC为△A₁BC时，连接OB、OC，
∵点O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底边BC=4，OB=OC，
∴△OBC为等边三角形，OB=OC=BC=4，OA₁⊥BC于点D，
∴CD=2，
∴OD=$\sqrt{O{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴A₁D=4-2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×4×（4-2$\sqrt{3}$）=8-4$\sqrt{3}$，
当△ABC为△A₂BC时，连接OB、OC，
A₂D=4+2$\sqrt{3}$
同理可得，△ABC的面积=8+4$\sqrt{3}$，
故答案为：8-4$\sqrt{3}$或8+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查三角形的外接圆和外心，等腰三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．