Question

（1）如图1，O是△ABC内一点，且BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB、若∠A=46°，则∠BOC=

 

；若∠A=n°，则∠BOC=

 

；
（2）如图2，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF．若∠A=n°，求∠BOC；
（3）如图3，O是△ABC外一点，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD．若∠A=n°，求∠BOC．

Answer 1

分析：（1）在△BOC中，把∠COB根据三角形的内角和用∠OBC和∠OCB表示，然后利用BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB和三角形的内角和即可用∠A表示∠BOC；
（2）和（1）一样，把∠COB根据三角形的内角和用∠OBC和∠OCB表示，然后利用BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB和三角形外角和内角关系就可以用∠A表示∠BOC；
（3）首先在△BOC中，根据三角形的外角和内角的关系得到∠COB=∠4-∠2，同理∠A=∠ACD-∠ABC，后利用BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB即可得到∠A和∠BOC的关系；

解答：解：（1）∵∠COB=180°-（∠OBC+∠OCB），
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB
∴∠BOC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）
=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
=113°，
故∠BOC=113°．
∴若∠A=n°，则∠BOC=90°+

1

2

n°；

（2）∵∠COB=180°-（∠OBC+∠OCB），
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠OBC=

1

2

∠EBC，∠OCB=

1

2

∠FCB
∴∠BOC=180°-

1

2

（∠EBC+∠FCB），
而∠EBC=180°-∠ABC，∠FCB=∠180°-∠ACB
∴∠BOC=180°-

1

2

（180°+∠A）
=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=90°-

1

2

n°；

（3）∵∠COB=∠4-∠2，∠A=∠ACD-∠ABC，
而BO，CO分别平分∠ABC，∠ACD，
∴∠ACD=2∠4，∠ABC=2∠2，
∴∠A=2∠COB，
∴∠BOC=

1

2

n°．

点评：本题是一道开放性题目，考查了同学们利用角平分线的性质、三角形的内角、外角等知识理解决问题的能力，有利于培养同学们的发散思维能力．