Question

如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB=6cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y=AE²-EF²，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤6）秒的函数关系式为

 

．

Answer 1

分析：首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE²=AG²+EG²，EF²=FG²+EG²，即可求得y=AG²-FG²，即可求得函数关系式．

解答：解：延长CO交AB于G，
∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，
∴CO⊥AB，AG=

1

2

AB=

1

2

×6=3（cm），
∴AE²=AG²+EG²，EF²=FG²+EG²，
当0≤x≤3时，AF=xcm，FG=（3-x）cm，
∴y=AE²-EF²=AG²+EG²-FG²-EG²=AG²-FG²=9-（3-x）²=6x-x²；
当3＜x≤6时，AF=xcm，FG=（x-3）cm，
∴y=AE²-EF²=AG²+EG²-FG²-EG²=AG²-FG²=9-（x-3）²=6x-x²．
故答案为：y=6x-x²．

点评：此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用．